Help piccolo calcolo di probabilità

[Madeiner]

Qualcuno riesce ad aiutarmi con questo calcolo?

Ho un mazzo di N carte, contenente carte di alcuni tipi diversi, possibilmente ripetute (carte identiche nello stesso mazzo).
Pesco X carte da questo mazzo; quante probabilità ho di ritrovarmi con due carte uguali in mano?

Esempio:

Il mio mazzo è composto da 10 carte:
- 3 sono rosse
- 2 sono gialle
- 1 è blu
- 4 sono verdi

Come calcolo la probabilità che ad esempio, pescando 4 carte, io abbia almeno 2 carte rosse in mano?

[Miave]

edit mi ero perso la parte del "pescando 4 carte" e non ho voglia di considerarla :p

[Galandil]

Facile.

- Peschi 0 rosse: (7*6*5*4)/(10*9*8*7)= 1/6
- Peschi 1 rossa: ( (7*6*5*3)/(10*9*8*7) ) * 4 = 1/2

Quindi peschi almeno 2 rosse in con P= 1 - (1/6+1/2) = 1/3

O vuoi anche sapere qual è il ragionamento che sta dietro a questi conticini?

[Madeiner]

Facile.

- Peschi 0 rosse: (7*6*5*4)/(10*9*8*7)= 1/6
- Peschi 1 rossa: ( (7*6*5*3)/(10*9*8*7) ) * 4 = 1/2

Quindi peschi almeno 2 rosse in con P= 1 - (1/6+1/2) = 1/3

O vuoi anche sapere qual è il ragionamento che sta dietro a questi conticini?


Thanks mille :D
E si, vorrei proprio capire il ragionamento per permettermi di applicarlo da me :D
Sto cercando di capire da dove vengono i numeri che hai scritto, ma penso di essere fermo dopo aver capito il pescare 0 rosse.

Il "peschi 1 rossa", se ho capito, le prime 3 frazioni sono la possibilità di NON pescare una rossa, mentre l'ultima è quella di pescarla, (3/7) all'ultimo tentativo.
Il mio cervello ha dubbi istintivi su cosa succede se la rossa la pesco prima anzichè dopo, ma effettivamente invertendo le cose i numeri sempre quelli sono (altrimenti pescherei piu di una rossa)


A questo punto aggiungo domanda:
la P di, pescando 4 carte, pescare l'unica carta blu, dovrebbe essere uguale a (1- P di non pescare una blu per 4 volte di fila).
"P di non pescare blu 4 volte di fila" è esattamente la stessa cosa del peschi 0 rosse. Corretto?
Io avevo fatto semplicemente al contrario, facendo la somma della P di pescarla, quindi (1/10 + 1/9 + 1/8 + 1/7) che effettivamente esce diverso.

[Galandil]

In questi casi ti conviene sempre considerare gli spazi campionari, nell'esempio in questione crei lo spazio di tutti i possibili outcomes che ti interessano.

Quindi se chiami R una carta rossa e X una carta non rossa, puoi avere risultati del tipo XXXX, XRXX, RXRX, ecc. Nella fattispecie, hai 4 possibili tipologie di spazi:

- Spazio con 0 carte rosse: XXXX
- Spazio con 1 carta rossa: RXXX,XRXX,XXRX,XXRX
- Spazio con 2 carte rosse: RRXX,RXRX,RXXR,XRRX,ecc.
- Spazio con 3 carte rosse: RRRX,RRXR,RXRR,XRRR

In sostanza, questi 4 spazi sono l'insieme di tutte le combinazioni possibili di 4 carte che puoi pescare da un mazzo di 10 (che puoi ricavare usando il coefficiente binomiale, pari a n!/( k! * (n-k)! ), visto che ti restituisce esattamente il numero di combinazioni di n elementi presi k alla volta, senza ripetizioni - in questo caso avresti quindi 10!/(4!*6!) = 210 combinazioni). Chiaramente lo spazio con 0 carte rosse non corrisponde a solo una combinazione, ma a più di una visto che si sta parlando di tutte le combinazioni possibili di 4 carte prese da 10, basta che non ci sia neanche una rossa.

Essendo il totale delle possibili combinazioni, la somma delle loro probabilità è necessariamente pari ad 1 (evento certo, sicuramente pescherai una di queste comb.). Essendo inoltre tutti spazi indipendenti fra di loro (se esce XXXX, non può uscire XXXR, così come se esce RXXX, non può uscire XRXX, e così via), questo vuol dire che la loro intersezione è nulla, ergo puoi sommare direttamente le probabilità delle singole combinazioni senza preoccuparti di sottrarre l'eventuale intersezione.

Quindi, per semplificarti il calcolo, ti concentri sui 2 spazi più rapidi da calcolare, cioé il primo e il secondo, e visto che vuoi ottenere la probabilità di pescare una comb. presente o nel terzo o nel quarto insieme, sottrai la prob. di primo+secondo da 1.

Il primo spazio è XXXX, significa che la prima carta dev'essere una qualsiasi delle 7 non rosse, quindi prob. 7/10. La seconda, idem fra quelle rimaste, che sono 6 su 9, ergo 6/9. Vai avanti fino alla quarta e ottieni 1/6 di probabilità di pescare una qualsiasi delle combo del primo spazio.

Il secondo spazio è un po' più tricky diciamo, perché devi considerare anche l'eventuale ordine, o meglio, momento in cui peschi la rossa. Ma la cosa fun è che a livello numerico non cambia la probabilità. Infatti peschi una rossa per prima 3 volte su 10, quindi prob. 3/10, poi devi pescare solo non rosse, quindi la seconda carta può essere una qualsiasi delle 7 non rosse rimaste su 9, 7/9, la terza è quindi 6/8 e arrivi quindi a 1/8 per questa combo in particolare. Poi però ti accorgi che, per quanto riguarda XRXX, la prima ha prob. 7/10, la seconda 3/9, la terza 6/8 e la quarta 5/7, e cioé anche in questo caso 1/8. Lo stesso vale per XXRX e XXXR, quindi alla fine ottieni 1/8 * 4 = 1/2.

Per curiosità, puoi calcolarti da solo (per vedere se hai capito) la probabilità di pescare tutte e 3 le carte rosse (cioé la prob. che la combo sia una del quarto spazio).

[Galandil]

Thanks mille :D
E si, vorrei proprio capire il ragionamento per permettermi di applicarlo da me :D
Sto cercando di capire da dove vengono i numeri che hai scritto, ma penso di essere fermo dopo aver capito il pescare 0 rosse.

Il "peschi 1 rossa", se ho capito, le prime 3 frazioni sono la possibilità di NON pescare una rossa, mentre l'ultima è quella di pescarla, (3/7) all'ultimo tentativo.
Il mio cervello ha dubbi istintivi su cosa succede se la rossa la pesco prima anzichè dopo, ma effettivamente invertendo le cose i numeri sempre quelli sono (altrimenti pescherei piu di una rossa)

Leggiti il mio wot che hai editato dopo che ero partito a scrivere. :D


A questo punto aggiungo domanda:
la P di, pescando 4 carte, pescare l'unica carta blu, dovrebbe essere uguale a (1- P di non pescare una blu per 4 volte di fila).

Esatto.


"P di non pescare blu 4 volte di fila" è esattamente la stessa cosa del peschi 0 rosse. Corretto?

Sbagliato, perché non pescare la blu non implica mica che non peschi rosse, se peschi ad es. RGVV, non hai cmq pescato pescato la blu ma hai pescato una rossa.


Io avevo fatto semplicemente al contrario, facendo la somma della P di pescarla, quindi (1/10 + 1/9 + 1/8 + 1/7) che effettivamente esce diverso.

Quella somma manco è la P di pescare una rossa, è una cosa che non ha senso proprio, cioé anche il primo addendo è sbagliato, oltre ad essere concettualmente sbagliato insomma. :D

[Madeiner]

"P di non pescare blu 4 volte di fila" è esattamente la stessa cosa del peschi 0 rosse. Corretto?

Sbagliato, perché non pescare la blu non implica mica che non peschi rosse, se peschi ad es. RGVV, non hai cmq pescato pescato la blu ma hai pescato una rossa.


Mi sono espresso male. Intendevo, quel calcolo è proprio il primo che hai scritto sul "peschi 0 rosse", quindi è ok :D
Non ti ho seguito bene sul calcolo binomiale (non ho mai studiato probabilità e le mie conoscenze di matematica si fermano a quelle di ragioneria delle superiori...)
Adesso provo con calcolare la probabilità di pescare 3 rosse.


Il mio mazzo è composto da 10 carte:
- 3 sono rosse
- 2 sono gialle
- 1 è blu
- 4 sono verdi


- Peschi 0 rosse: (7*6*5*4)/(10*9*8*7)= 1/6
- Peschi 1 rossa: ( (7*6*5*3)/(10*9*8*7) ) * 4 = 1/2

Quindi peschi almeno 2 rosse in con P= 1 - (1/6+1/2) = 1/3


Pescare 2 rosse:

Spazio XXRR:
(7/10 * 6/9 * 3/8 * 2*7 ) = 1/20

Spazio RRXX:
(3/10 * 2/9 * 7/8 * 6/7) = 1/20

Per la magia matematica sono uguali, quindi assumo che tutte le altre combinazioni diano lo stesso risultato.
Ci sono 6 spazi (sono sicuro di aver studiato in qualche esame il modo veloce per calcolarli... combinazioni e permutazioni, ma non me lo ricordo perciò vado a mano)

RRXX
RXRX
RXXR

XRRX
XRXR

XXRR

Quindi la P di pescare esattamente due rosse è (7/10 * 6/9 * 3/8 * 2*7 ) * 6 = 1/20 * 6 = 3/10

La probabilità quindi di pescare almeno tre rosse è (1 - (P di pescare esattamente 0 rosse + P di pescare 1 rossa + P di pescare 2 rosse))
Ovvero: 1 - (1/6+1/2+3/10) = 1 - 29/30 = 1/30


Altrimenti avrei potuto probabilmente calcolarlo come la somma di P(pescare 3 rosse) + P(pescare 4 rosse).
Corretto?

[Abby]

hem solo per riempire un poco di più la domenica di calcoli, ma la domanda iniziale non era:
"Pesco X carte da questo mazzo; quante probabilità ho di ritrovarmi con due carte uguali in mano?"
mentre 4 carte e 2 rosse solo un esempio?

Cioè serve la formula, il ragionamento già c'è, generale o particolare?

;)

[Madeiner]

Si, la mia domanda era un esempio facile per capire come fare, ma quello che volevo è capire come fare. Il ragionamento non lo conoscevo, perchè appunto sommavo le probabilità a caso come dicevo...
Se galandil mi conferma che quei conti sono corretti, allora penso di aver capito e di essere in grado di usare questo ragionamento per il lavoro che devo fare (che è la stessa cosa ma con molte piu "carte")

[Galandil]

Si, formalmente il tuo ultimo calcolo è corretto. Ma... è molto lungo e potevi risparmiarti un sacco di lavoro ragionando su una cosa semplice: se vuoi sapere la prob. di pescare almeno 3 rosse, E nel mazzo ci sono esattamente 3 rosse, va da se che "almeno 3 rosse" = "esattamente 3 rosse", e cioé corrisponde al quarto spazio campionario (RRRX, ecc.).

E in quel caso hai come probabilità (3*2*1*7) / (10*9*8*7) il tutto moltiplicato per 4 (4 possibili insiemi con la X nei quattro possibili posti), che, guardacaso, è sempre 1/30. ;)

Diciamo che in generale, come ho detto prima, in probabilità la cosa più importante è capire esattamente cosa ci richiede il problema e qual è il metodo più rapido per risolverlo, visto che come hai notato ci sono quasi sempre almeno 2 vie per arrivare alla soluzione.

Se ti vuoi divertire, puoi provare a calcolare queste due probabilità. Avendo un mazzo di carte francesi standard (52 carte), e pescandone due, qual è la prob. di:

- Ricevere una coppia di assi;
- Ricevere una coppia qualsiasi;
- Ricevere due carte con seme E valore differenti.

Enjoy. :D

[Madeiner]

Si, formalmente il tuo ultimo calcolo è corretto. Ma... è molto lungo e potevi risparmiarti un sacco di lavoro ragionando su una cosa semplice: se vuoi sapere la prob. di pescare almeno 3 rosse, E nel mazzo ci sono esattamente 3 rosse, va da se che "almeno 3 rosse" = "esattamente 3 rosse", e cioé corrisponde al quarto spazio campionario (RRRX, ecc.).
E in quel caso hai come probabilità (3*2*1*7) / (10*9*8*7) il tutto moltiplicato per 4 (4 possibili insiemi con la X nei quattro possibili posti), che, guardacaso, è sempre 1/30. ;)
Diciamo che in generale, come ho detto prima, in probabilità la cosa più importante è capire esattamente cosa ci richiede il problema e qual è il metodo più rapido per risolverlo, visto che come hai notato ci sono quasi sempre almeno 2 vie per arrivare alla soluzione.
Se ti vuoi divertire, puoi provare a calcolare queste due probabilità. Avendo un mazzo di carte francesi standard (52 carte), e pescandone due, qual è la prob. di:
- Ricevere una coppia di assi;
- Ricevere una coppia qualsiasi;
- Ricevere due carte con seme E valore differenti.
Enjoy. :D


Thanks mille!
Penso di aver chiaro il concetto e ora posso procedere col lavoro che dovevo fare :D
Mi hai spiegato in modo chiarissimo, ti ringrazio!

Sull'almeno/esattamente 3 rosse (cioè tutte) era la prossima domanda che volevo farti, ed ho capito la spiegazione. In questo caso nemmeno proprio notato che nel mazzo c'erano solo 3 rosse, dato che l'avevo inventato a caso :P (infatti noto ora che avevo scritto come ultima possibilità calcolarlo come P(pescare 4 rosse), che nemmeno ci sono :D )