[matematica] serie di potenze

[Axet]

non è una di potenze è una geometrica.

(-1)^k * (2x+1)^k = [(-1)* (2x+1)]^k

proprietà delle geometriche, una serie geometrica della forma a^k converge puntualmente se |a|<1
risolvi |-2x-1|<1 e hai finito

Hador bona co sta storia delle geometriche pd

[Axet]

piuttosto invece, come si calcola l'insieme di convergenza di una SERIE DI FUNZIONI????

e^(-n*(x^2)) ttra 1 e infinito....


ho trovato degli esercizi dove calcola il SUP del modulo e tira fuori un altra serie ma non ci sto capendo una sega.

Se non ricordo male, ma son abbastanza sicuro:
per la convergenza puntuale fai il limite per n che tende a +infinito della funzione per x=0, per x>0, per x<0. Questo ti da la funzione limite, che identifica la convergenza puntuale.

Poi passi alla uniforme (nota che ci sono dei vincoli sulla continuità/discontinuità tra funzione limite e funzione di partenza per poter poi passare alla uniforme.. in alcuni casi puoi direttamente dedurre che non converge uniformemente. Non mi ricordo di preciso quali siano i casi, sono sicuro però che ci sono ).
Per la convergenza uniforme usi weierstrass.

La storia del sup di f(x) meno la funzione limite è per le successioni di funzioni da quel che ricordo

[Kith]

bella thx, ora vado a lavorare -_-

[Hador]

cut ho scritto una serie di stronzate leggendo quello che ha scritto axet
no cmq devi fa criteri vari, dopodichè fai weistrass.

[Axet]

cut ho scritto una serie di stronzate leggendo quello che ha scritto axet
no cmq devi fa criteri vari, dopodichè fai weistrass.

Se non erro era giusto quello che avevi scritto prima, ma ricordo che all'epoca in cui preparavo questo esame (4 mesi fa) avevamo dei dubbi a riguardo.
SICURAMENTE se la funzione è continua e la funzione limite è discontinua allora non converge uniformemente.
Ma ho il dubbio che in alcuni casi non sia così ma.. non mi ricordo

Cmq la serie postata prima, cioè e^(-n*x^2) viene (-∞, +∞).
Questo perchè per x = 0 la funzione fa 1.
Per x > 0 e per x < 0 (in quanto x compare al quadrato e di conseguenza non dipende dal segno) viene 0 perchè:

lim per n-->+∞ di e^(-n*x^2) si può vedere come 1/e^nx^2 che ovviamente tende a 0 (0+, per essere precisi, ma in questo caso non ce ne fotte). Ergo l'insieme di convergenza puntuale è appunto (-∞, +∞).

L'uniforme invece non c'è perchè come si può ben vedere la funzione limite è discontinua per x = 0 (dove vale 1).

Ah e hador pensandoci avevi ragione sul sup, perchè tu per weirstrass cerchi un qualcosa che limiti superiormente la funzione.. ergo tu fai lo studio di funzione (studio dei limiti agli estremi del dominio, calcolo della derivata prima, per poi porla maggiore di zero per cercare i massimi e i minimi), dopodichè quando (e se) trovi un punto di massimo calcoli la sua ordinata.
Una volta che hai l'ordinata guardi se la serie di quel valore (dell'ordinata del massimo trovato) è una serie convergente. Se si, per il teorema di weierstrass, la serie iniziale converge uniformemente (nell'intervallo di convergenza trovato inizialmente).

Una cosa che ho notato negli esercizi dei vari temi d'esame che ho fatto in passato è che le serie maggioranti erano quasi sempre geometriche o armoniche (semplici o a cui era facile ricondursi).

Per le successioni invece è diverso, trovi il sup del modulo della funzione meno la funzione limite. Sostanzialmente fai lo studio di funzione come sopra (ma di f(x)-Fn(0) ), disegni il grafico, applichi il modulo (quindi ribalti la parte negativa del grafico). A quel punto puoi fare l'osservazione sulla convergenza (è importante ricordarsi di fare il modulo perchè può essere che quello che era un minimo diventi un sup).

Non dovrei aver fatto confusione e questo dovrebbe essere quanto detto dalla prof a lezione.. spero serva

[Hador]

non era giusto ho fatto casino (e lo stai facendo anche tu), per le SERIE la convergenza la dimostri con i criteri non con i limiti, è per le SUCCESSIONI che dimostri la convergenza puntuale coi limiti.
E' necessario che il limite a oo della SERIE tenda a 0, ma non è sufficiente, occorre utilizzare uno dei criteri (rapporto radice confronto confronto asintotico).
dopodichè con weistrass ti serve una serie numerica maggiore della serie che stai considerando, se trovi il sup è giusto ma nn è l'unico modo, ma anche in questo caso non ti basta il limite devi utilizzare uno dei criteri

scrivendolo in passaggi per le SERIE:
SE limite n -> oo va 0 allora POTREBBE convergere puntualmente
per dimostrare convergenza puntuale usi criteri: rapporto, radice (dove se esiste radice esiste rapporto uguale ma non necessariamente il contrario), confronto o confronto asintotico.

per quella uniforme devi trovare una serie numerica (quindi con la n senza la x) che sia sempre maggiore della tua serie e dimostrare che converga PUNTUALMENTE. La convergenza puntuale della serie numerica maggiore implica la convergenza uniforme della serie di funzioni minore.
Per far ciò devi nuovamente applicare i criteri di merda.

nel mio post prima complice l'aglio alla pasta che ho mangiato ho fatto un mischione tra succesioni e serie.

se cmq axet ti vuoi divertire fammi questa: (nx^2)/(n^3+x^3) [n per x quadro, tutto fratto n cubo + x cubo] sempre n da 1 a infinito, SERIE.
Io ho dimostrato la puntuale con asintotico, la uniforme non ci sono riuscito, o meglio, col metodo del sup viene un cazzo di valore finito (scompare anche la n) e nn so a che armonica ricondurmi

MA SOPRATTUTTO GLI STRACAZZO DI INGEGNERI MAGHI DEI CALCOLI DOVE MINGHIA SONO QUANDO SERVONO CHE E' TUTTO IL POMERIGGIO CHE BESTEMMIO DIETRO STA ROBA

[Axet]

Se il sup viene un valore finito è corretto (se hai fatto bene i calcoli), semplicemente non converge uniformemente (perchè appunto è una retta). Sicuro al 1000000000000000%

Per il resto stai facendo un gran casino, la funzione limite la devi trovare sempre e cmq sia che si tratti di successioni che di serie di funzioni.

[Hador]

la funzione di convergenza non si calcola con le serie, la convergenza si dimostra tramite i criteri di convergenza, lo studio dei limiti si fa nelle successioni. Il limite che DEVE tendere a 0 è condizione necessaria per la convergenza puntuale ma non sufficiente, il limite da solo non te serve a nulla e se la serie non va a 0 con n a infinito non converge un cazzo... chiedi eh ma sono decisamente sicuro.

edit: convergenza puntuale vuol dire che la serie converge ad una funzione fi(x) che si chiama somma della serie, la somma della serie NON la calcoli con il limite de merda.

[Axet]

Hador cristiddio, come in msn pd. Magari esiste anche il metodo che dici te, onestamente lo ignoro non sono un matematico. Ma sono SICURO che come ho detto io va bene e funziona. Così lo ha spiegato la prof a lezione, così abbiam fatto tutti gli esercizi di prova, così ho fatto nell'esame e ho preso il massimo dei punti nell'esercizio in questione.
Se non ci credi manda una mail alla prof, ci scommettiamo l'avatar?

Btw il limite per x che tende a +∞ è la condizione necessaria di convergenza, come hai detto giustamente tu. Ma la funzione limite la devi calcolare cmq, per n che tende a +∞, al variare di x. Si fa così, non so che dirti, come già detto magari il tuo metodo funziona, ma così sei sicuro di non sbagliare

[Hador]

ho gli appunti presi da 3 persone diverse in cui c'è scritto grosso come una casa che il limite a 0 è una condizione necessaria ma non sufficiente e han preso tutti 30 allo scritto
mo vo a letto se vuoi domani te li mando

spespe, al variare di x lo fai per le successioni, per trovare la funzione di convergenza.
Ora, per le serie ti basta il criterio di convergenza, se poi il risultato del criterio è in funzione di x su quello determini l'insieme di convergenza (se ti viene e^x ad esempio, converge se minore di 1, ins di convergenza andrà da -oo a 0). Lo studio del limite ti serve SOLO per la necessaria, studiarlo al variare di x non serve per dimostrare la convergenza puntuale, se poi lo chiede per altri motivi "di forma" non saprei.

[Axet]

Ma hai letto quel che ho scritto o hai fatto finta?
Che il limite per x che tende a +∞ sia condizione necessaria per la convergenza è una cosa. Ma questo NON TI DICE NIENTE sulla convergenza in sè, oltre che potrebbe esistere.
La funzione limite c'è sia nel caso della successione che nel caso della serie. E per trovarla non guardi il limite per x che tende a +∞, ma per n (enne) che tende a +∞, considerando i 3 casi in cui x è uguale, maggiore e minore di zero.

Torno a dire, io all'esame l'ho fatto in questa maniera e ho preso il massimo dei punti nell'esercizio. La prof a lezione lo ha spiegato in questa unica e sola maniera, non indicando altri possibili metodi di risoluzione.
Se vuoi ci scommettiamo 1 mese di avatar, mandi una mail alla kkkkkkkuuuuuuhhhhhhhnnnnnn e vediamo.. k?

[Hador]

ok scommettiamo tanto stai facendo casino
la condizione necessaria per la convergenza puntuale è su n->oo = 0, infatti è condizione necessaria per la convergenza delle serie in generale (anche quelle numeriche dove la x non la hai), guarda appunti oppure wiki: http://it.wikipedia.org/wiki/Serie#C...la_convergenza

Una SERIE converge puntualmente alla SOMMA DELLA SERIE, non ad una funzione con i valori dei limiti (che sarà sempre 0 se converge, vista la condizione necessaria). Chiedi alla donna e ripassati sta roba se devi dare l'esame il 20 che stai facendo un gran casino.

[Axet]

Scrivila te la mail però
Chiedile se, e nel caso di risposta positiva, come si calcola la funzione limite per le serie di funzioni

Se vuoi ti scannerizzo gli appunti nonchè gli esercizi fatti

[Hador]

settimana prox ci vo a parlare devo chiederle un po' di roba, no cmq ti è chiaro il discorso del limite?
la funzione di convergenza non esiste, si chiama somma della serie e non la chiede, in caso per calcolarla (ma non dovrebbe chiederla a quanto mi hai detto tu e quelli del tuo anno) o si usa il teorema assurdo oppure per il teorema del cazzo in culo puoi fare così:
derivi la serie fino a che non ti ricongiungi ad una serie notevole (geometrica o armonica) della quale conosci la somma della serie, dopodichè scrivi la somma della serie ottenuta e la integri per il numero di volte che hai derivato per semplificare.

cmq negli esercizi si chiede di trovare l'insieme di convergenza puntuale e uniforme, questi li trovi con i criteri. Lo studio al variare di X lo puoi fare, inizialmente, per vedere se la condizione necessaria è soddisfatta, ma da solo non ti basta. Non ti da informazioni aggiuntive in ogni caso, nel senso se ti viene che con x < 0 non converge, il criterio ti dirà la stessa cosa (ad esempio fai rapporto e ti viene e ^ x appunto).

di appunti ne ho abbastanza giro con 150 fogli ahah

- e cmq un ingegnere potrebbe venire qua a dirci la sua

[Axet]

No hador non funge così, porco ido >_>
L'insieme di convergenza puntuale lo trovi cmq con la funzione limite, sia che si tratti di serie di funzioni che di successioni di funzioni. Cioè E' così.. poi se il metodo che dici te esiste e funziona come già detto lo ignoro, ma come ho detto io è sicuramente corretto. Fides, pd